Question

如图，已知AB为圆o的直径，CD是弦，AB垂直于CD于E，OF垂直于AC于F，BE=OF

（1）求证：OF平行于BC
（2）求证：△AFO全等于△CEB
（3）若EB=5cm，CD=10倍根号3cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC
又∵OF⊥AC
∴OF∥BC

（2）证明：∵AB⊥CD
∴弧BC=弧BD∴∠CAB=∠BCD
又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，
∴△AFO≌△CEB

（3）解：连接DO．
∵AB⊥CD
∴CE=1/2CD=5√3cm
在直角△OCE中，OC=OB=x+5（cm），
根据勾股定理可得：（x+5）^2=(5√3）^2+x^2
解得：x=5
∴tan∠COE=5√3/5=√3
∴∠COE=60°
∴∠COD=120°，
∴扇形COD的面积是：(120π-10^2)/360=100π/3cm
△COD的面积是：1/2CD*OE=1/2*10√3*5=25√3cm
∴阴影部分的面积是：(（100π-3）/3-25√3）cm^2