Question

已知函数F=(x)=x+1/x-1,试解答下列问题 (1)求F(x)的定义域和值域

已知函数F=(x)=x+1/x-1,试解答下列问题 (1)求F（x）的定义域和值域
（2）当X≥2时 求F（x）的值域
（3）求g（x）=x²+1/x²-1的值域
急求！！！！！！还有一道若a∈R,讨论方程|X-2x-3=a|的解的情况

Answer 1

（1）定义域：因为分母x≠0，所以定义域为{x|x≠0}
值域：F（x）=x+1/x-1,
当x>0时，利用不等式性质x+1/x≥2,当且仅当x=1/x即x=1时等号成立。此时F(x)≥2-1=1。
当x<0时，利用不等式性质x+1/x=-[(-x)+(-1/x)]≤-2,当且仅当x=1/x即x=-1时等号成立。
此时F（x)≤-2-1=-3。
由此，函数F（x)的值域为{F(x)|F(x)≤-3，或F(x)≥1}。
但是我不知道你是否学过基本不等式。如果你只是学习了函数的单调性。那么你可以先由函数
f(x)=x+a/x,(a>0）入手，用单调性定义证明函数f(x)在区间（0，根号下a)上为减函数，在区间（根号下a,+∞)上为增函数。
还有就是表达式是否是F(x)=x+1/(x-1).要是这样就要写为F(x)=(x -1)+1/(x-1)-1利用换元思想令t=x-1,又回到原来的路子，就是定义域变了。
（2）由（1）可知，F(x)在区间[2,+∞)上为增函数，此时最小值为F(2)=3/2。值域为【3/2,+∞）。
所以我猜想你是要利用单调性解决此题。
（3）上面我提到了换元，你可以令t=x²(x≠0），易知x²>0，即t>0。
函数改写为F(t)=t+1/t-1,(t>0）回到开头了，所以此时F(t)≥1，即值域为[1,+∞)。

你所补充的题看不明白，我猜想是|x²-2x-3|=a的解得情况，此题如是这样，那么首先了解函数
f(x)=x²-2x-3的图像，此图像中与X轴交点有(-1,0),(3,0),在区间（-1,3）间的图像在X轴下方，加了
绝对值符号后将此部分翻到X轴上方，顶点（1,-4）变成了（1,4）。如果有图像此图很好明白。
因为|x²-2x-3|=a可以理解为y=|x²-2x-3|与y=a的图像交点的个数问题。
显然，a<0时，两者无交点，也就是无解；
0<a<4时，两者有4个交点，即有4解；
a=0或a>4时，两者有2交点，即有2解；
a=4时，两者有3交点，即有3解。