Question

已知二次函数f(x)满足f(0)=0,f(x+1)=f(x)+2x+8,求f(x)的解析式

Answer 1

因 f(0)=0，所以可设 f(x)=ax^2 + bx
f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) = ax^2+bx + 2ax + a+b= f(x) + 2ax + a + b
于是 2a = 2, a+b=8 ==> a = 1, b= 7
所以 f(x)=x^2+7x

追问

谢谢。

Answer 2

解：由于f(0)=0，那么可知二次函数f(x)在y轴上的截距为0；若令f(x)=ax²+bx+c，即y轴截距c=0，即有f(x)=ax²+bx；
又f(x+1)=f(x)+2x+8，那么f(x+1)-f(x)=2x+8，则f(1)-f(0)=8，f(2)-f(1)=10，即有f(1)=8，f(2)=18；
将f(1)=8，f(2)=18带入f(x)=ax²+bx中解得a=1，b=7；
因此，所求f(x)=x²+7x.
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Answer 3

解：由题意可设f(x)=ax^2+bx
则f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a^2+b=f(x)+2x+8=ax^2+(b+2)x+8
即ax^2+(2a+b)x+a^2=ax^2+(b+2)x+8
系数对比得
2a+b=b+2
a^2+b=8
解得a=1 b=7
故f(x)=x^2+7x

Answer 4

设f(x)=ax²+bx+c f(0)=c=0 f(x)=ax²+bx
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)=ax²+2ax+a+bx+b=ax²+(2a+b)x+a+b
f(x+1)=f(x)+2x+8 ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+bx+2x+8=ax²+(2+b)x+8
2a+b=2+b 2a=2 a=1 a+b=8 b=7
f(x)的解析式：f(x)=x²+7x

Answer 5

f﹙x﹚＝x²＋ax ＋b f﹙0﹚＝0 b＝0 f﹙1﹚＝a＋1＝10 a＝9
∴f﹙x﹚＝x²＋9 x

追问

不对吧- -。