Question

高数求证明

Answer 1

1.
lim an=a
根据定义，
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε
对于：
|(a1+a2+…+an)/n - a|
=| [(a1-a)+(a2-a)+……+(aN1-a)]+[(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a)] | / n
≤|(a1+…+aN1)/n|+|(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a))/n|
=|(a1+…+aN1)/n|+((n-N1)/n) * ε
<|(a1+…+aN1)/n|+ε
因此，取N=max{N1，| a1+…+aN1 |/ε}
那么有，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|(a1+a2+…+an)/n - a|<(1+1)ε=2ε
故根据定义，
lim (a1+……+an)/n=a

逆命题并不成立
an=(-1)^n
lim (a1+……+an)/n=0
但，lim an并不存在，更不要说收敛到0

2.
lim n^√(a1a2…an)
先证lim n/(1/a1+1/a2+…1/an)=a
因为lim an=a，所以明显lim 1/an=1/a
由第一题，立即有：lim (1/a1+1/a2+…1/an)/n=1/a
故有，lim n/(1/a1+1/a2+…1/an)=a

注：上面的a可以是0、非零常数、∞，再定义lim 1/0=∞，lim 1/∞=0
当然，对于不同类型的a有不同的证法，但是结果是一致的
所以为了简便，我采用以上的写法

再根据迫敛性：
n/(1/a1+1/a2+…1/an)≤n^√(a1a2…an)≤(a1+a2+…+an)/n
同取极限n趋于无穷
就有：
lim n^√(a1a2…an)=a

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追问

因此，取N=max{N1，| a1+…+aN1 |/ε}
那么有，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|(a1+a2+…+an)/n - a|<(1+1)ε=2ε

没懂= =

追答

要证明一个极限，关键是找出那个存在的N
而当n>N1，就有
[(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a)] | / n|a1+…+aN1|/ε，上面的不等式直接解出
那么，我只需要取N1和|a1+…+aN1|/ε的最大值
就一定可以保证，任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|(a1+a2+…+an)/n - a|<(1+1)ε=2ε

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