证明 若m>0,n>0,(m,n)=1 方程x^m=y^n的全部整数解可以由x=t^n,y=t^m给出,t为任意
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设(a, b)为方程x^m=y^n的整数解,则a^m=b^n,则b=(a^m)^(1/n)=[a^(1/n)]^m,由b是整数且(m,n)=1
所以a^(1/n)是整数,记a^(1/n)=t,则a=t^n, 代入a^m=b^n得(t^n)^m=b^n,即t^mn=b^n,所以b=t^m
即a=t^n, b=t^m 所以方程x^m=y^n的全部整数解可以由x=t^n,y=t^m给出
所以a^(1/n)是整数,记a^(1/n)=t,则a=t^n, 代入a^m=b^n得(t^n)^m=b^n,即t^mn=b^n,所以b=t^m
即a=t^n, b=t^m 所以方程x^m=y^n的全部整数解可以由x=t^n,y=t^m给出
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