Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，请你猜想线段AB、AD、BC之间的数量关系，并证明

Answer 1

AB＋AD＝BC。
［证明一］
过D作DE⊥BC交BC于E。
∵△ABC是Rt△，又AB＝AC，∴DA⊥AB、∠C＝45°。
∵∠ABD＝∠CAD、DA⊥AB、DE⊥CB，∴AD＝DE。
∵∠C＝45°、DE⊥CE，∴△CDE是以CD为底边的等腰直角三角形，∴DE＝CE。
由AD＝DE、DE＝CE，得：AD＝CE。

∵AD＝DE、BD＝BD、∠BAD＝∠BED＝90°，∴Rt△ABD≌Rt△EBD，∴AB＝EB。
由AD＝CE、AB＝EB，得：AB＋AD＝EB＋CE＝BC。

［证明二］
∵△ABC是Rt△，又AB＝AC，∴容易得出：BC＝√2AB。······①
∵∠ABD＝∠CAD，∴由三角形内角平分线定理，有：AD/CD＝AB/BC＝1/√2，
∴AD/（AD＋CD）＝1/（1＋√2）＝√2－1，∴AD＝√2AC－AC＝√2AB－AB，
∴AB＋AD＝√2AB。······②
由①、②，得：AB＋AD＝BC。

Answer 2

‍‍证明：AB+AD=BC，证明如下：
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，
∴DA=DE，∠ABD=∠EBD（角平分线上的任一点到角的两条边的距离相等），
∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，

∴AB=BE，
∴∠A=∠BED=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
在△DEC中，∠DEC=90°，∠C=45°，
∴∠EDC=45°，
∴ED=EC，
∴AD=EC，
∴BE+EC=AB+AD=BC．

Answer 3

证明：AB+AD=BC，证明如下：
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，
∴DA=DE，∠ABD=∠EBD（角平分线上的任一点到角的两条边的距离相等），
∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AB=BE，
∴∠A=∠BED=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
在△DEC中，∠DEC=90°，∠C=45°，
∴∠EDC=45°，
∴ED=EC，
∴AD=EC，
∴BE+EC=AB+AD=BC．