Question

已知如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE为BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F，在直线CD上截取CD=AE.

（1）求证：BD⊥BC
（2）若AC=12cm，求BD的长.

Answer 1

(1)∵∠BCD+∠ACF=∠ACB=90°，
∠CAE+∠ACF=180°-∠AFC=180°-90°=90°
∴∠BCD=∠CAE
而CD=AE，BC=AC
∴△BCD≌△CAE
∴∠CBD=∠ACE=90°
∴BD⊥BC
(2)BC=AC=12cm，CE=BE=1/2*BC=6cm
而△BCD≌△CAE，∴BD=CE=6cm

Answer 2

(1)证明:∵∠BCD+∠ACF=90º;∠CAE+∠ACF=90º.
∴∠BCD=∠CAE(同角的余角相等);
又BC=AC,CD=AE.
∴⊿BCD≌⊿CAE(SAS),∠CBD=∠ACE=90º,故BD⊥BC.
(2)解:∵⊿BCD≌⊿CAE(已证).
∴BD=CE;又CE=BC/2=AC/2=6cm.故BD=6cm.

Answer 3

AE^2=AC^2+CE^2
CD^2=BC^2+BD^2
AE=CD，AC=BC
得CE=BD，即△ACB=△CBD
即∠CBD=∠ACB=90°，即BD⊥BC
BD=CE=1/2BC=1/2AC=6

Answer 4

（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．
（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，
∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL）
∴BD=EC=
1
2
BC=
1
2
AC，且AC=10cm．
∴BD=5cm．

Answer 5

1）证明：
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠DCA=90°
∵CF⊥AE
∴∠CAE+∠DCA=90°
∴∠BCD=∠CAE
又∵CD=AE且AC=BC
∴△DBC≌△ECA
∴∠DBC=∠ECA=90°
∴BD⊥BC
2）∵△DBC≌△ECA
∴BD=EC
∵AE为BC边上的中线
∴EC=BE=1/2BC
又∵AC=BC
∴EC=1/2AC
∴BD=1/2AC
∵AC=12cm
∴BD=12×1/2=6cm