Question

已知圆x^2+y^2+x-6y+c=0与直线x-2y+3=0交于P,Q两点,且OP=OQ(O为坐标原点),求圆的方程

Answer 1

那个条件 OP=OQ 应该是 OP丄OQ 吧？？？？

由 x-2y+3=0 得 x=2y-3 ，代入圆的方程得 (2y-3)^2+y^2+(2y-3)-6y+c=0 ，
化简得 5y^2-16y+6+c=0 ，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 y1+y2=16/5 ，y1*y2=(6+c)/5 ，
因此 x1*x2=(2y1-3)(2y2-3)=4y1*y2-6(y1+y2)+9=4(6+c)/5-51/5=(4c-27)/5 ，
因为 OP丄OQ ，所以 x1*x2+y1*y2=0 ，
即 (6+c)/5+(4c-27)/5=0 ，
解得 c=21/5 ，检验知，它满足 16^2-20(6+c)>=0 ，
因此，所求的圆的方程为 x^2+y^2+x-6y+21/5=0 。

Answer 2

这是一个错误的命题。
［证明］
由给定的圆的方程容易得出圆心坐标为G（－1/2，3），自然有：GP＝GQ，又OP＝OQ，
∴G、O都在PQ的中垂线上，∴OG⊥PQ。······①

由给定的直线方程容易得到：PQ的斜率＝1/2，而OG的斜率＝（3－0）/（－1/2－0）＝－6，
∴PQ的斜率×OG的斜率＝－3，∴OG与PQ不垂直。······②
由①、②的矛盾，说明：本命题是错误的。