Question

函数f(x)=|sinx|+|cosx|+(sin2x)^4的最大值最小值分别是

Answer 1

(|sinx| + |cosx|)^2 = (sinx)^2 + (cosx)^2 + 2|sinxcosx| = 1 + |sin(2x)|
记t = |sin(2x)|
f(x) = √(1 + |sin(2x)|) + (sin2x)^4
=√(1 + t) + t^4
0 ≤ t ≤ 1
所以1 ≤ f(x) ≤ 1+√2
当x = kπ + π/4时取得最大值1+√2
当x = kπ/2时取得最小值1
k是整数

Answer 2

把它拆成三个分函数f1 f2 f3 他们的周期分别是π π π/2
所以只要研究一个长度为派的区间就行了
不妨研究0到pi这个区间
1）0到π/4:f3递增
f1+f2=(根2)(sin(x+π/4)递增
值域[1,1+根2]
2）π/4到π/2:f3递减
f1+f2=(根2)(sin(x+π/4)递减
值域[1,1+根2]
3）π/2到3π/4:f3递增
f1+f2=sinx-cosx=(根2)(sin(x-π/4))递增
值域[1,1+根2]
4）3π/4到π:f3递减
f1+f2=(根2)(sin(x-π/4))递减
值域[1,1+根2]
综上 最大值1+根2 最小值1

追问

非常感谢您的解答，只不过稍微麻烦了点。
谢谢啦！