Question

求解下面这道广义积分，请给出解题步骤，谢谢！

本人已经尝试过几种换元，如把x换成tant，x+1/x整体换元等，均未果，望给出过程，不胜感激

Answer 1

利用对称性
先分成两份
=∫[-∞,0](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
第一个用y=-x替换，dx=-dy,上下限加负号
=∫[∞,0](-y-1/y)/[(-y-1/y)^2+2] (-dy)
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=∫[∞,0](y+1/y)/[(y+1/y)^2+2] dy
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
第一个积分用x替代y
=∫[∞,0](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=-∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx (交换上下限，变符号)
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=0

追问

朋友让算的物理中归一化中的一个积分，当时怎么算都是“0”，看看答案是π^(-1/2), 当时让我郁闷至极，通过和大家交流，终于出去了这个困惑的问题了，谢谢了！

Answer 2

令被积函数f(x)=(x+1/x)/[(x+1/x)^2+2]
f(-x)=-(x+1/x)/[(x+1/x)^2+2]=-f(x)
所以f(x)是奇函数
因为积分区间为(-∞,+∞)，根据原点对称
所以原式=0

Answer 3

被积函数 f(x)=x^3+x/(x^2+1)^2+2x^2 当|x|很大时 f(x)~1/x
因此上述广义积分不存在，但应其为奇函数，所以它的柯西主值为0

Answer 4

明天来