求解下面这道广义积分,请给出解题步骤,谢谢!

本人已经尝试过几种换元,如把x换成tant,x+1/x整体换元等,均未果,望给出过程,不胜感激... 本人已经尝试过几种换元,如把x换成tant,x+1/x整体换元等,均未果,望给出过程,不胜感激 展开
chinasunsunsun
2012-09-16 · TA获得超过1.6万个赞
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利用对称性
先分成两份
=∫[-∞,0](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
第一个用y=-x替换,dx=-dy,上下限加负号
=∫[∞,0](-y-1/y)/[(-y-1/y)^2+2] (-dy)
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=∫[∞,0](y+1/y)/[(y+1/y)^2+2] dy
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
第一个积分用x替代y
=∫[∞,0](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=-∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx (交换上下限,变符号)
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=0
追问
朋友让算的物理中归一化中的一个积分,当时怎么算都是“0”,看看答案是π^(-1/2), 当时让我郁闷至极,通过和大家交流,终于出去了这个困惑的问题了,谢谢了!
crs0723
2012-09-16 · TA获得超过2.5万个赞
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令被积函数f(x)=(x+1/x)/[(x+1/x)^2+2]
f(-x)=-(x+1/x)/[(x+1/x)^2+2]=-f(x)
所以f(x)是奇函数
因为积分区间为(-∞,+∞),根据原点对称
所以原式=0
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混沌的复杂
2012-09-17 · TA获得超过1692个赞
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被积函数 f(x)=x^3+x/(x^2+1)^2+2x^2 当|x|很大时 f(x)~1/x
因此上述广义积分不存在,但应其为奇函数,所以它的柯西主值为0
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nsjiang1
2012-09-16 · TA获得超过1.3万个赞
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明天来
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