Question

当-2≤m≤2时,不等式mx^2-2x+1-m>0恒成立,求实数x的取值范围

速度啊

Answer 1

应该这么来求：
1、把x当作常数，m当作变量，则f(x)=mx^2-2x+1-m=(x²-1)m-2x+1，记g(m)=(x²-1)m-2x+1
2、当x²-1>0时，则g(m)是一个斜率大于0的一次函数，那么只需要g(m=-2)>0，就可以保证(x²-1)m-2x+1>0即mx^2-2x+1-m=(x²-1)m-2x+1>0恒成立。结合x²-1>0和g(m=-2)>0可得：
-[7^(1/2)+1]/2<x<-1
3、当x²-1<0时，则g(m)是一个斜率小于0的一次函数，那么只需要g(m=2)>0，就可以保证(x²-1)m-2x+1>0即mx^2-2x+1-m=(x²-1)m-2x+1>0恒成立。结合x²-1<0和g(m=2)>0可得：
-1<x<[1-3^(1/2)]/2
4、另当x=-1时，g(m)=(x²-1)m-2x+1=2+1=3>0也成立

综合上述2、3、4的结果，x取值范围应该是-[7^(1/2)+1]/2<x<[1-3^(1/2)]/2

Answer 2

把x当作常数，m当作变量，则f(x)=mx^2-2x+1-m=(x²-1)m-2x+1，记g(m)=(x²-1)m-2x+1，由题意，
知-2≤m≤2时，g(m)=(x²-1)m-2x+1>0，注意到g(m)表示直线，所以只要在m∈[-2,2]内直线在横轴上方即可，所以两直线端点值大于0即可，因此有g(-2)>0且g(2)>0，代入g(m)=(x²-1)m-2x+1，解出不等式组的解集即可。