Question

已知圆C：X＾2＋Y＾2－2X＋4Y－4＝0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C所截得的弦长AB为直径的圆经过原

已知圆C：X＾2＋Y＾2－2X＋4Y－4＝0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C所截得的弦长AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线L的方程：若不存在，说明理由 用三种方法接一下，第三种是设而不解法，哪位大侠帮帮我，最快的给财富
快的再多加20 很急啊 复制的算了

Answer 1

1,圆C的标准备方程为：(x-1)^2+(y+2)^2=9, 假设存在直线，可设其方程为y=x+b,
弦AB的中垂线过圆心C，设弦AB的中点为D，则直线CD与AB垂直，其方程为y+2=-(x-1)，即y=-x-1
联立y=x+b知中点D的坐标为D[（-b-1）/2,(b-1)/2]，则圆心C到中点D的距离CD=|b+3|/√2，
在直角三角形ACD中，有AD^2=AC^2-CD^2,其中AC=R=3，则AD^2=9-[(b+3)^2/2]，
所以以AB为直径，D为圆心的圆的方程为：[x-(-b-1)/2]^2-[y-(b-1)/2]^2=AD^2=9-[(b+3)^2/2]
因为圆D过原点,所以, [0-（-b-1）/2]^2-[0-(b-1)/2]^2=9-[(b+3)^2/2]即:b^2+3b-4=0得b=1或-4。
所以存在两条直线满足条件。
2,假设存在，可设直线方程的为x－y+b=0，则以弦AB为直径的圆的方程可表示为x^2+y^2－2x+4y－4+λ(x－y+b)=0，
因为此圆过原点（0，0），代入上面的方程有：λb-4=0，又此圆以AB为直径，所以圆心( 2-λ/2，λ-4/2 )在直线x－y+b=0上，代入可得：λ=3+b，则b=1或-4，所以存在直线y=x+1或y=x-4满足条件。
3,设而不求的方法，设A（x1,y1）,B(x2,y2)，以弦AB为直径的圆的方程可表示为[x-(x1+x2)/2]^2+[y-(y1+y2)/2]^2=｛(x1-x2)^2+(y1-y2)^2｝/4，该圆过原点，代入（0，0）化简有
x1x2+y1y2=0, 再把直线L的方程y=x+b以弦AB为直径的圆的方程化简有，2x^2+2(b+1)x+b^2+4b-4=0,
可知x1,x2为该方程的两根，所以x1+x2=-b-1,x1x2=( b^2+4b-4)/2,又y1=x1+b,y2=x2+b,则y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b^2=( b^2+2b-4)/2，联立x1x2+y1y2=0化简有b^2+3b-4=0得b=1或-4，代入方程2x^2+2(b+1)x+b^2+4b-4=0 ，⊿>0，所以存在两条直线满足条件。

Answer 2

解: 1L就是就是复制的吧 -0-，那个答案我看过。很明显 .-3-3√2＜1＜3√2-3 满足你△条件的
而且圆的问题算△不是最好的办法，算圆心到直线距离最好
<1> 圆C (x-1)^2+(y+2)^2 = 9
直线带入圆法：设A(x1,y1),B(x2,y2) 直线AB：y = x+m
圆心到AB距离d为 |3+m|/√2
弦长AB为直径的圆经过原点 等价于 OA⊥OB

也就是说 x1x2+y1y2 = 2x1x2 +m(x1+x2) +m^2 = 0
x^2 -2x-4+(x+m)^2+4(x+m) =0
2x^2 +2(m+1)x+m^2+4m-4 = 0
2x1x2 +m(x1+x2) +m^2 = m^2+4m-4 -m^2-m+m^2 =m^2+3m -4=0
m=1 或 m = - 4
带入检验，d分别为 4/√2 与 1/√2 都小于3，都满足要求