Question

请数学达人帮忙。。求函数的渐近线:∫e^(-t^2)dt,积分上下限是,从0到x

请说下过程。。我知道答案就是不知道怎么来的。。
答案是y=+√π/2,或-√π/2，想知道怎么来的。。

Answer 1

这题用分步积分公式；
uv=t * e^(-t^2)； u'v=e^(-t^2)； uv'=t * e^(-t^2) * (-2t)=-2t² e^(-t^2)；
原式=∫e^(-t^2)
=∫u'v=uv-∫uv'
=te^(-t^2)+2t² ∫e^(-t^2)
将含∫e^(-t^2)的项移过来，即可求出∫e^(-t^2)=te^(-t^2)/(1-2t²)；
那么其在[0,x]上的定积分为xe^(-x^2)/(2x²-1)。

追问

我要求的是渐近线啊。。能麻烦在做下吗？

追答

不好意思，这题帮不了你。楼上是正解，
我求积分的过程中有错误，最后一步应该为te^(-t^2)+∫2t² e^(-t^2)，这样不能通过分布积分解决问题。求不出这个积分，极限不知道，也不能求出渐近线，建议楼主去看关于泊松积分的东西。

Answer 2

令f(x)=∫(0,x) e^(-t^2)dt
f'(x)=e^(-x^2)>0
f''(x)=-2xe^(-x^2)
所以f(x)在R上单调递增，且当x>0时，f(x)为凸函数，当x<0时，f(x)为凹函数
因为f(0)=0
所以f(x)只经过第一象限和第三象限
f(+∞)=∫(0,+∞) e^(-t^2)dt=(√π)/2
f(-∞)=∫(0,-∞) e^(-t^2)dt=-(√π)/2
lim(x->+∞) f'(x)=lim(x->-∞) f'(x)=0
所以函数的渐近线为y=±(√π)/2

反常积分计算方法参见：
http://zhidao.baidu.com/question/303447598.html&__bd_tkn__=2ab813307238d9285210b633b0fc28b38300d7f98078338d51fed8133ea5c69d362ad36bb4bcda3b39bb3949f6bbe47087ac3af56e60b1f4e7eb60157b5cfe369960acf1560f03de01252709a737b07d3802ef040c58cf84db49310c7c2e3a2abc107b3538c6a5d99c06f5accbdc8d0cc3312af74caf

Answer 3

渐近线有三种
1.水平渐近线
2垂直渐近线
3斜直线
起中 3的研究方法中包括对1的研究
设有直线y=kx+b
设f（x）=:∫e^(-t^2)dt 则f（x）/x的极限值 即为k的值
利用洛必达法则 得到k=0 故有水平渐近线
其中b=:∫e^(-t^2)dt的极限值 这个函数的原函数是表示不出来的 不是初等函数，不是高等数学研究范围
利用泊松积分 查表看一下即可 属于超纲内容

追问

答案是y=+√π/2,或-√π/2，想知道怎么来的。。

追答

呵呵，这就是泊松积分啊 ∫e^(-t^2)dt 的积分值就是靠这个算的 我们目前不需要掌握
如果你有兴趣 ，可以查一查泊松积分来进一步研究

追问

额。。我看一个国外的视频，别人介绍这个的时候，教授问下面的同学看出这个渐近线的值没。。下面的都看出来了，就我还看不出。。那个郁闷啊。。。
你说的目前是什么个阶段？本科阶段？考研阶段？

追答

考研我不知道，我才大二。本科是不作要求的。

Answer 4

渐近线有三种
1、水平渐近线
若x趋于正无穷或负无穷时，f(x)趋于常数c，则y=c 为f(x)的水平渐近线
2、垂直渐近线
若x趋于某值c时，f(x)趋于无穷，则x=c为f(x)的垂直渐近线，
实际上x=c就是f(x)的无穷间断点
3、斜渐近线
若x趋于无穷时，f(x) / x趋于a，且f(x)-ax趋于b，
则y=ax+b是f(x)的斜渐近线
要注意a=0时，实际上斜渐近线就等于水平渐近线了啊（y=b）

所以同一函数的水平渐近线和斜渐近线最多只有两条

很显然在这里x趋于某常数的时候，
∫[上限x,下限0] e^(-t²)dt不会趋于无穷，即不存在垂直渐近线

于是要来求x趋于无穷的时候，∫[上限x,下限0] e^(-t²)dt的值
而要注意 ∫e^(-t²)dt是一个反常积分，想直接通过一次积分把算出来是不行的

显然
∫ [上限+∞,下限0] e^(-t²)dt * ∫[上限+∞,下限0] e^(-t²)dt
= ∫[上限+∞,下限0] e^(-x²)dx * ∫[上限+∞,下限0] e^(-y²)dy
这时候用极坐标来解，
令x=r *cosθ，y=r *sinθ
r可以取0到+∞，而θ处于第一象限，即0到π/2
则
∫ [上限+∞,下限0] e^(-x²)dx * ∫[上限+∞,下限0] e^(-y²)dy
=∫ [上限+∞,下限0] r *e^(-r²) dr * ∫[上限π/2,下限0] dθ
显然∫[上限π/2,下限0] dθ=π/2，
而
∫ [上限+∞,下限0] r *e^(-r²) dr
= ∫ [上限+∞,下限0] 0.5e^(-r²) d(r²)
= -0.5e^(-r²) [代入上限∞,下限0]
=0.5
故
∫ [上限+∞,下限0] e^(-t²)dt * ∫ [上限+∞,下限0] e^(-t²)dt= π/4，
即
∫ [上限+∞,下限0] e^(-t²)dt = √π /2，
而在上限为-∞的时候，
∫ [上限 -∞,下限0] e^(-t²)dt = -√π /2

于是函数的渐近线为：
y=+√π/2或-√π/2