Question

x=0时以下两个函数图像有无切线？并请解释。谢谢！

1. f(x) =0(x=0)
=xsin(1/x) (x不等于0)
2. =0(x=0)
=x^2 sin(1/x) (x不等于0)

Answer 1

有没有切线关键在于在x=0点的导数是否存在
导数存在的定义是
当自变量x从正负两侧趋于零时，因变量f（x）-f（0）的增量与自变量x-0的增量之商的极限是否存在且相等
第一个函数不论x从正负哪个方向趋近于零时的f（x）均为xsin(1/x),所以f（x）-f（0）=xsin（1/x），对于其与自变量x-0的商取极限，分子分母均趋于零时，极限上下x消掉，结果为lim（x趋近于零）sin（1/x）不存在。所以第一个函数没有切线。
第二个函数因为f（x）=x^2 sin(1/x) (x不等于0)。同样像上面所说取极限，因为x的平方关系，和分母的x不能完全抵消，虽然lim（x趋近于零）sin（1/x）不存在，但其为一个有界的值，乘以趋于零的x。极限结果为0.所以第二个函数有切线。

Answer 2

第一个没有，第二个有
根据定义，在x=0处
第一个函数的导数定义为lim[f(a+0)-f(0)]/a=lim[asin(1/a)/a]=limsin(1/a)
a趋近于0时，sin(1/a)不存在，故无导数，无切线。
第二个函数的导数为lim[f(a+0)-f(0)]/a=lim[a²sin(1/a)/a]=lim[sin(1/a)/(1/a)]
a趋近于0是，sin(1/a)是有界的，1/a趋近于无穷，故而极限为0，导数为0，切线斜率为0。