Question

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h若点P在△ABC的BC

Answer 1

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，1/2AB×h1+1/2AC×h2=1/2BC×h，可得h1+h2=h又因为h3=0，所以：h1+h2+h3=h．
图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图②～⑤中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图③所得结论为什么是正确的
（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的
【解答】
1）②hl+h2+h3=h；③h1-h2+h3=h；④h1+h2+h3=h；⑤h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
连接AP，
则S△APB+S△APC=S△ABC，
∴ AB×h1+ AC×h2= BC×h．
又h3=0，AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h．
（3）图⑤中，h1+h2-h3=h．
连接PA、PB、PC，（如答图）
则S△APB+S△APC=S△ABC+S△BPC．
∴ AB×hl+ AC×h2= BC×h+ BC×h3
又AB=AC=BC，
∴h1+h2=h+h3．
∴h1+h2-h3=h．

Answer 2

俊狼猎英团队为您解答

这类问题不管结论是什么，用面积证明最简单。
P在内部或边上时，有高与等底，几个(三个或两个)三角形面积之和为等边三角形面积，
或P在外部时，外部一个三角形面积加上等边三角形面积等于另两个三角形面积之和。

若点在ΔABC的内部或边上，h=h1+h2+h3,
若点在ΔABC的外部，离点最近的一条高变为差。
如果离BC所在直线最近，那么：h=h1+h2-h3.

Answer 3

解：①（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴1/2BC•AM=1/2AB•PD+1/2AC•PF
即1/2BC•h=1/2AB•h1+1/2AC•h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
②当点P在△ABC内时，结论成立．证明如下：
如图2，连接PA，PB，PC
∵S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC
∴1/2AB•h1+1/2AC•h2+12BC•h3=1/2BC•h
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h
当点P在△ABC外时，结论不成立，
理由如下：如图（3）连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即1/2BC•AM=1/2AB•PD+1/2AC•PE-1/2BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h．

Answer 4

题不完整