Question

数学超级难题 望顶尖高手指点 如下图

上面这道题我用尽了各种方法都不行 有哪位高手会的

Answer 1

cosx=2-x^3-x，由于-1<=cosx<=1，因此必有1<=x^3+x<=3，而x^3+x是递增函数，因此可以大致估计一下知道x至少大于1/2，小于3/2，再由cosx+x^3+x-2在1/2点函数值<0，在1点函数大于0，因此x必位于(1/2，1)之间。第二个方程利用2cos^2y=1+cos2y可化为cos2y-8y^3-2y-2=0，类似可知y必位于(-1/2,0)中。因此-2y位于(0 1)中。再注意到-2y=t，代入第二个方程中地cost+t^3+t-2=0，和第一个方程完全一样，因此t=x，故x=-2y，x+2y=0，cos(x+2y)=1。

Answer 2

8y^3-2cos²y+2y+3=0
(2y)^3+1-2cos²y+2y+2=0
(2y)^3-cos2y+2y+2=0
左边乘一负号
(-2y)^3+cos(-2y)+(-2y)-2=0
x^3+cosx+x-2=0
记
f(t)=t^3+cost+t-2
所以
x和-2y为f(t)=0的两根
f'(t)=3t^2-sint+1≥0
所以
f(t)是单调函数
所以
f(t)=0仅有一解，即x=-2y
x+2y=0
所以
cos(x+2y)=1