Question

二重积分

证明∫ （a到b）f（x）dx∫ （a到b）1/f（x）dx≥（b-a）^2？

Answer 1

本题要求f(x)在(a,b)上恒正（或恒负）

左边=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(x)dx
积分变量可随便换字母
=∫[a→b] f(x)dx∫[a→b] 1/f(y)dy
这样变成一个二重积分
=∫∫ f(x)/f(y)dxdy 其中：积分区域是a≤x≤b，a≤y≤b，这个区域具有轮换对称性
=(1/2)∫∫ [f(x)/f(y) + f(y)/f(x)] dxdy 原因是∫∫ f(x)/f(y)dxdy=∫∫ f(y)/f(x)dxdy
≥(1/2)∫∫ 2 dxdy 这里用了个平均值不等式
=∫∫ 1 dxdy
=(b-a)²=右边
证毕

Answer 2

如果f 是正的函数, 或者负的.
这个结论成立的!

也就是Scharz不等式的推论!

Answer 3