Question

求下列函数的解析式:(1)已知f(x-1/x)=(x+1/x)的平方，求f(x)；（2）已知f（x+3）=x的平方-2x+3，求f（x）

（3）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，求f（x）

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Answer 1

第一问用换元法，令t=(x-1)/x,得（t-1）x=-1,∴x=(-1/t-1)
∴f(t)=[(-1/t-1)+1]/(-1/t-1)的平方，解得f(t)=2-t,∴f(x)=-x+2.

f(x+3)=x的平方-2x+3,可以用换元法，也可以用配凑法。
先用换元法，令t=x+3得x=t-3,∴f(t)=(t-3)的平方-2（t-3）+3,整理得：f(t)=t^2-8t+18,
∴f(x)=x^2-8x+18.
或f(x+3)=(x+3)^2-8(x+3)+18,∴f(x)=x^2-8x+18.
第三问答案如下：用待定系数法做。
令f(x)=ax^2+bx+c,
因为f(0)=1,∴C=1，
又因为f(x+1)=f(x)+2x,∴a(x+1)^2+b(x+1)+1=ax^2+bx+1+2x.
解得：a= 1 ,b= -1 ,c=1.
∴f(x)=x^2-x+1

Answer 2

解：用x-3代替x得：
f（x-3+3）=（x-3）²-2+3
f（x）=x²-6x+9-2+3
f（x）=x²-6x+10
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