Question

在Rt三角形ABC中，∠BAC=90度，AC=AB,点F是射线CA上的一点，连接BF，过C作CE垂直BF，垂足为点E，直线CE,AB

相交于点D
（1）如图一，当点F在线段CA延长线上时，求证：AD=AF
(2)如图二，当点F在线段CA上时，若CA=2CF,四边形ABCE的面积为12，求线段CD的长
望尽快解决





Answer 1

(1)证明:∵∠ACD=∠ABF(均为∠F的余角);
AC=AB,∠CAD=∠BAF=90º(已知).
∴⊿CAD≌⊿BAF(ASA),AD=AF.
(2)解:同理可证⊿CAD≌⊿BAF,CD=BF;AD=AF.
AC=2CF,设AC=AB=2m,则AF=AC/2=m,BF=√(AB²+AF²)=√(4m²+m²)=√5m=CD.
∴AD/CD=AF/BF=m/(√5m)=1/√5.
∵∠DAC=∠DEB=90º;∠D=∠D.
∴⊿DAC∽⊿DEB,DA/DE=CD/BD;
又∠ADE=∠CDB。
∴⊿ADE∽⊿CDB,S⊿ADE/S⊿CDB=(AD/CD)².
即S⊿ADE/(S⊿ADE+12)=(1/√5)²,S⊿ADE=3.
∴S⊿CDB=S⊿ADE+S四边形ABCE=15。
即DB*AC/2=15,3m*2m/2=15, m=√5.
故:CD=BF=√5m=5.