Question

不等式（a²-1）x²+（a-1）x+2/（a+1）≥0的解集为R，则实数a的取值范围是？ 详细解释

Answer 1

（a²-1)x²+(a-1)x+(a+1)/2≥0的解集为R
当a=1时，原不等式即1≥0符合题意
当a=-1时，原不等式为2x≥0,解集为x≥0，不合题意
当a²-1≠0时，不等式解集为R的条件为
{a²-1>0 ①
{Δ=(a-1)²-4(a²-1)(a+1)/2≤0 ②
①==>a<-1或a>1
②==> (a-1)²-2(a-1)(a+1)²≤0
==> (a-1)[a-1-2(a²+2a+1)]≤0
==> (a-1)(2a²+a+1)≥0
∵2a²+a+1=2(a+1/4)²+7/8>0恒成立
∴②==> a>1
由 ①② 得a>1
综上所述，实数a的取值范围是a>1

追问

当a²-1≠0时，不等式解集为R的条件为
{a²-1>0 ①
{Δ=(a-1)²-4(a²-1)(a+1)/2≤0 ②

这步不太懂

追答

a²-1≠0时
设y=(a²-1)x²+(a-1)x+(a+1)/2
（a²-1)x²+(a-1)x+(a+1)/2≥0的解集为R
则抛物线恒在x轴上方或与x轴相切
那么抛物线开口一定朝上，∴a²-1>0
抛物线恒在x轴上方或与x轴相切,
抛物线与x轴没有交点，或只有一个切点
方程(a²-1)x²+(a-1)x+(a+1)/2=0无实数解
或有2个相等的解
∴Δ≤0