Question

已知直线l：y=x+m与椭圆x²/20+y²/5=1交于不同两点A,B点M（4，1）为定点 (1)求m的取值范围。

已知直线l：y=x+m与椭圆x²/20+y²/5=1交于不同两点A,B点M（4，1）为定点
(1)求m的取值范围。
（2）若直线l不过点M，求证：MA,MB与X轴围成一个等腰三角形。

Answer 1

解： <1> 将 y = x+m 带入x²/20+y²/5=1 中
得到 5x^2 +8xm +4m^2-20 =0.....1&
交于不同两点A,B 等价于 △ >0 （不是1L的≥0，△=0只有1个交点）
△ = 8*8m^2 -4*5*4(m^2-5) = 4m^2 -5(m^2-5) > 0 （能约分就约分，不要先算出来0
m^2<25 所以 m∈(-5,5)

<2> 不妨设 A(x1,y1);B(x2,y2) 在直线AB上。 y1 = x2+m,y2=x2+m
若 kMA = -KMB 就可以得出 MA,MB与X轴围成一个等腰三角形。(请画图）

要使得 kMA = -KMB,等价于 (y1-1)/(x1-4) +(y2-1)/(x2-4) = 0
所以等价于 (x1+m-1)(x2-4) + (x2+m-1)(x1-4) = 0
<=> 2x1x2 +(m-5)(x1+x2)-2*4*(4m-1) = 0 由 1&
<=> (1/5)*[8m^2-40-(m-5)*8m-5*8(m-1)]=0 恒成立
而 (1/5)*[8m^2-40-(m-5)*8m-5*8(m-1)]
= (1/5)*[8m^2-40-8m^2+40m-40m+40]=0是恒成立的

所以 kMA = -KMB 恒成立
所以 MA,MB与X轴围成一个等腰三角形。

Answer 2

(1)
x²/20+y²/5=1
即x²+4y²=20
因y=x+m
所以x²+4y²=20
x²+4(x+m)²=20
5x²+8mx+(4m²-20)=0
其交于不同两点则使判别式△≥0
判别式△=(8m)²-4(5)(4m²-20)≥0
64m²-80m²+400≥0
m²≤25
-5≤m≤+5

(2)

有请高人