Question

已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2根号2) F2(0,-2根号2),e=2根号2/3

一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不痛的两点M,N,且线段MN中点的横坐标为-1/2,求直线l倾斜角的取值范围

Answer 1

焦点在Y轴，a=2√2，离心率e=c/a=2√2/3，
c=（2√2/3）*2√2=8/3，
b^2=a^2-c^2=8-64/9=8/9,
∴椭圆方程为：y^2/8+9x^2/8=1,
设M（x1,y1),N(x2,y2),
MN中点D（x0,y0),
x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2,
MN直线方程斜率k=(y2-y1)/(x2-x1),
y1^2/8+9x1^2/8=1,(1)
y2^2/8+9x2^2/8=1,(2)
(1)-(2)式
（y1^2-y2^2)/8+9(x1^2-x2^2)/8=0,
[(y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]+9=0,
k*y0/x0=-9,
x0=-1/2,
k=(9/2)/y0,
∵0≤|y0|≤2√2，
∴|k|≥（9/2）/（2√2）=9√2/8，
∴k≤-9√2/8,或k≥9√2/8.
设直线MN倾斜角为α，
则α≥arctan(9√2/8),或α≤|arctan(-9√2/8),