Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC

（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由
（2）若△ABC的面积为3cm²，求四边形ABFE的面积
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由

Answer 1

分析，
1，△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC
∴△ABC≌△FEC
AC=FC，BC=EC
又，∠ACE=∠BCF(对顶角相等)
∴△ACE≌△BCF
∴AE=BF

2，
∵△ACE≌△BCF
∴∠EAC=∠CFB
∴AE∥BF
又AE∥BF
∴四边形AEFB是平行四边形。
设AB边上的高是h，
根据对称性可得，平行四边形AEFB中，AB边上的高是（2h）
S(△ABC)=AB*h/2=3
∴AB*h=6
S(平行四边形AEFB)=AB*2h=12

3，由于四边形ABFE是平行四边形，
当AF=BE，即是，AC=BC=ED=FC时，平行四边形ABFE就是矩形。【对角线相等的平行四边形就是矩形】
又，AB=AC，
∴△ABC一定是等边三角形。【三边都相等】
∴∠ACB=60º。

Answer 2

（1）连接AE、BF
根据旋转，AC=CF，BC=CE
所以四边形ABFE对角线互相平分，因此是平行四边形
AE、BF为平行四边形一组对边，所以AE=BF且AE∥BF
（2）C为AF中点，AC=CF
△ABC和△FBC高都是从B作AC的垂线段长，因此高相等
所以两三角形等底同高，面积相等
同理，S△FEC=S△AEC
根据旋转，△ABC和△CEF全等，面积相等
可以看到平行四边形ABFE面积为4S△ABC=12CM²
（3）已证ABFE为平行四边形
因此当对角线AF=BE时为矩形
因为AC=AF/2，BC=BE/2，所以AC=BC
已知AC=AB，所以△ABC为等边三角形。
∠ACB=60