Question

已知关于x的方程x^2-(m+2)x+(2m-1)=0 急。。

①求证：方程恒有两个不相等的实数根
②若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

Answer 1

x^2-(m+2)x+(2m-1)=0
△=(m+2)²-4(2m-1)
=m²+4m+4-8m+4
=m²-4m+4+4
=(m-2)²+4>0
所以，方程恒有两个不相等的实数根

若此方程的一个根是1
x=1代入方程得：
1-(m+2)+(2m-1)=0
1-m-2+2m-1=0
m=2
则：方程变为：
x²-4x+3=0
(x-3)(x-1)=0
x=1或x=3
所以，方程的另一个根为x=3

以此两根为边长
(1)这两个边长为直角边，则，斜边=根号(1+9)=√10
周长=1+3+√10=4+√10
(2)斜边为3，直角边为1，则，另一个直角边=根号(9-1)=2√2
周长=1+3+2√2=4+2√2

Answer 2

代入
1-m-2+2m-1=0
m=2
x1+x2=m+2
x2=4

根据勾股定理
斜边：根号(2²+4²)=2根号5

周长：2+4+2根号5=6+2根号5

Answer 3

证明：
判别式△=(m+2)²-4×(2m-1)
=m²+4m+4-8m+4
=m²-4m+4+4
=(m-2)²+4
∵(m-2)²≥0
∴(m-2)²+4＞0
∴方程有两个不相等的实数根