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解:因为为椭圆,因此a,b,c之间满足如下的关系
a^2-b^2=c^2=4,则a^2=4+b^2,
则有椭圆方程为:x^2/(4+b^2)+y^2/b^2=1。
由直线x+√3y+4=0,得:x=-4-√3y,代入上述椭圆方程中,得:
(-4-√3y)^2/(4+b^2)+y^2/b^2=1,
则 b^2(4+√3y)^2+(4+b^2)y^2=(4+b^2)b^2,化简得
4(1+b^2)y^2+8√3b^2y+(12-b^2)b^2=0。
因为直线x+√3y+4=0与椭圆x^2/(4+b^2)+y^2/b^2=1只有一个交点,
则有 :(8√3b^2)^2-4[4(1+b^2)][(12-b^2)b^2]=0,
即 12b^4-(1+b^2)(12-b^2)b^2=0。
则有 b^4+b^2-12=0, (b^2+4)(b^2-3)=0,
所以 b^2=3,
于是有:a^2=4+b^2=4+3=7, a=√7, 2a=2√7。
椭圆长轴长为2√7。
a^2-b^2=c^2=4,则a^2=4+b^2,
则有椭圆方程为:x^2/(4+b^2)+y^2/b^2=1。
由直线x+√3y+4=0,得:x=-4-√3y,代入上述椭圆方程中,得:
(-4-√3y)^2/(4+b^2)+y^2/b^2=1,
则 b^2(4+√3y)^2+(4+b^2)y^2=(4+b^2)b^2,化简得
4(1+b^2)y^2+8√3b^2y+(12-b^2)b^2=0。
因为直线x+√3y+4=0与椭圆x^2/(4+b^2)+y^2/b^2=1只有一个交点,
则有 :(8√3b^2)^2-4[4(1+b^2)][(12-b^2)b^2]=0,
即 12b^4-(1+b^2)(12-b^2)b^2=0。
则有 b^4+b^2-12=0, (b^2+4)(b^2-3)=0,
所以 b^2=3,
于是有:a^2=4+b^2=4+3=7, a=√7, 2a=2√7。
椭圆长轴长为2√7。
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可设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1由题意知 a²=b²+4
x²/a²+y²/b²=1 x+√3y+4=0得(-√3y-4)²/a²+y²/b²=1整理得
(3b²+a²)y²+8b²√3y+16b²-a²b²=0由题意判别式△=0即
192(b²)²-4[(3b²+a²)+16b²-a²b²]=0
将a²=b²+4代入并整理得196(b²)²-64b²-16=0
解得b²=4√65
a²=b²+4=4√65 +4
椭圆的长轴长为2a=4√(√65 +1)
x²/a²+y²/b²=1 x+√3y+4=0得(-√3y-4)²/a²+y²/b²=1整理得
(3b²+a²)y²+8b²√3y+16b²-a²b²=0由题意判别式△=0即
192(b²)²-4[(3b²+a²)+16b²-a²b²]=0
将a²=b²+4代入并整理得196(b²)²-64b²-16=0
解得b²=4√65
a²=b²+4=4√65 +4
椭圆的长轴长为2a=4√(√65 +1)
追问
答案不对。
追答
可设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1由题意知 a²=b²+4
x²/a²+y²/b²=1 x+√3y+4=0得(-√3y-4)²/a²+y²/b²=1整理得
(3b²+a²)y²+8b²√3y+16b²-a²b²=0由题意判别式△=0即
192(b²)²-4[(3b²+a²)(16b²-a²b²)]=0
将a²=b²+4代入并整理得a²b²(b²-3)=0
解得b²=3
a²=b²+4=7椭圆的长轴长为2a=2√7
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有图有真相的,要不??
更多追问追答
追问
高手来了,呵呵。必须要啊。
不好画图,在hi里一样啊。
追答
可以这样思考:
假如椭圆与直线有两个交点A、B,则线段AB就一定在椭圆内,在线段AB上任取一点P,则:
AF1+AF2=BF1+BF2=2a,因点P在椭圆内,则:PF1+PF2<2a,所以有:
PF1+PF2<AF1+AF2
也就是说,当直线与椭圆有一个交点Q时,此时应该是直线上的点与椭圆两个焦点F1、F2的连线段长度之和最小。
作点F1(-2,0)关于直线x+√3y+4=0的对称点是F1'(-3,-√3),则:
2a=F1Q+F2Q=F1'F2=2√7,因c=2,则:b²=3,则所求椭圆是:
x²/7+y²/3=1
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