Question

函数f（x）=-x2+（2a-1）|x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（　　）

对称轴为什么不可以小于0

Answer 1

f(x)是偶函数，所以在x>0至少有二个不同的单调区间
x>0时 f(x)=-x²+（2a-1）x+1=-(x-a+1/2)²+1+(a-1/2)²
若-a+1/2≥0 则f(x)在x>0部分为单调下降，所以-a+1/2<0 即a>1/2
0<x<a-1/2 单降 x>a-1/2 单增
对称性 1/2-a<x<0 单增 x<1/2-a 单降
四个不同的单调区间，符合条件

若f(x)=-x²+(2a-1)|x|+1以x=-b为对称轴，其中b>0
则有 f(-b-x)=f(-b+x)
-(-b-x)²+(2a-1)|-b-x|+1=-(-b+x)²+(2a-1)|-b+x|+1

得 (2a-1){|x+b|-|x-b|}=4bx
令x=b 得 （2a-1）{2b-0}=4b² 2a-1=2b

令x=2b 得 （2a-1）{3b-b}=8b² 2a-1=4b
所以2b=4b b=0 矛盾