Question

不定积分自己算完和答案使用的公式不同，得出不同结果，不知道是不是我算错了，待高手解答

参考书上使用的积化和差公式，我用的半角公式，结果不同！不知道哪里错了！！！？？

Answer 1

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
cosxcosx/2=[(cos(3x/2)+cosx/2)/2
原式=f (cos(3x/2)/2dx+f (cosx/2)/2dx
=sin(3x/2)/3+sin(x/2)+C
微分得:
(sin(3x/2)/3+sin(x/2)+C)'
cos(3x/2)/2+cos(x/2)/2
=(cos3x/2+cosx/2)/2
=cosxcosx/2

f cosxcosx/2dx
=f (2cos^2(x/2)-1)cosx/2dx
=2f (2(1-sin^2(x/2)-1)d(sinx/2)
=2f(1-2sin^2(x/2))d(sinx/2)
=2sinx/2-4/3sin^3(x/2)+C (这里,你做错了,不是8/3sin^3(x/2))
微分得:
(2sinx/2-4/3sin^3(x/2)+C)'
=cos(x/2)-3*4/3sin^2(x/2)cos(x/2) /2
=cos(x/2)-2sin^2(x/2)cos(x/2)
=cos(x/2)*(1-2sin^2(x/2)
=cos(x/2)cosx

追问

谢谢网友，这两天做积分头有点大，那里是多×个2，两种方法积分出来的的结果并不相同，是不是其实是靠C常数找齐的呢？
之前也做过一些实用不同恒等式，结果不同的，但是都能够互化，这个做出来后一个是一次方一个三次方，就不确定了？

追答

只要是微分得出积分函数，它就是其中一个原函数，加个常数C就是积分解．
你说的情况多的是，结果不同只是常数项不同，你可以相减验证：
如：2sinx/2-4/3sin^3(x/2)－［sin(3x/2)/3+sin(x/2)］
＝sinx/2-4/3sin^3(x/2)-1/3sin(3x/2)
因为：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α

=sinx/2-4/3sin^3(x/2)-1/3(3sin(x/2)-4sin^3(x/2))
=sinx/2-sinx/2-4/3sin^3(x/2)+4/3sin^3(x/2)
=0

Answer 2

4∫sin²(x/2)dsin(x/2)
这里是4*1/3*sin³(x/3)+C
不是2/3

∫x²dx=x³/3+C