Question

函数极限的保不等式性

能证明下函数极限的保不等式性吗？

Answer 1

：首先阐明了数列极限的保号性与保不等式性的等价性，然后进一步探讨了数列极限的保号性、保不等式性与函数极限的局部保号性、局部保不等式性之间的关系．这些结果是现有高等数学或数学分析教材的有益补充．关键词：极限；函数；保号性；保不等式性中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1004－8332（2011）03－0007－03极限理论是微积分的理论基础，而极限的保号性与保不等式性则是极限理论中重要而常用的两条性质，因此深刻理解这些性质，对学好极限理论起着十分重要的作用．本文首先阐明了数列极限的保号性与保不等式性的等价性，然后进一步探讨了数列极限的保号性、保不等式性与函数极限的局部保号性、局部保不等式性之间的关系，这些结果是现有高等数学或数学分析教材的有益补充．1数列极限的保号性的等价描述命题1以下关于数列极限的性质是等价的：性质1．1［1］（数列极限的保号性）（ⅰ）若limn→∞an=a存在且a＞0，则N＞0，n＞N，有an＞0．（ⅱ）若limn→∞an=a存在且a＜0，则N＞0，n＞N时，有an＜0．性质1．2［2］（数列极限的保号性）（Ⅰ）若limn→∞an=a＞a'＞0，则N＞0，n＞N，有an＞a'．（Ⅱ）若limn→∞an=a＜a'＜0，则N＞0，n＞N时，有an＜a'．证（Ⅰ）（ⅰ）：设（Ⅰ）成立．若limn→∞an=a＞0，则limn→∞an=a＞a2＞0，由（Ⅰ），N＞0，n＞N时，有an＞a2＞0，即（ⅰ）成立．（ⅰ）（Ⅰ）：设（ⅰ）成立．若limn→∞an=a＞a'＞0，令bn=an－a'，则limn→∞bn=limn→∞an－a'=a－a'＞0．由（ⅰ）则N＞0，n＞N时，有bn＞0，即an＞a'，从而（Ⅰ）成立．（Ⅱ）（ⅱ）：可类似证明．证毕．2数列极限的保不等式性的等价描述命题2以下关于数列极限的性质是等价的：性质2．1［1］（ⅰ）若N＞0，n＞N时，有an0，且limn→∞an=a存在，则limn→∞an=a0．（ⅱ）若N＞0，n＞N时，有an0，且limn→∞an=a存在，则limn→∞an=a0．2011年赣南师范学院学报№．3第三期JournalofGannanNormalUniversityJune．2011*收稿日期：2011－02－22基金项目：江西省教育厅科技研究项目（GJJ08388）作者简介：许绍元（1964－），男，湖北武汉人，赣南师范学院数学与计算机科学学院教授、博士后，主要从事非线性泛函分析与分形几何的研究．

追问

不好意思。。我问的是函数极限的保不等式性。不是数列的

Answer 2

思路分析：

可以看出，保号性的本质是函数值在一定范围内（某个变化过程中）与极限值保持符号相同的性质。

要形式地证明它，只需由极限的定义（ε-δ语句）出发，在A〉0和A<0的情况下，分别推出函数值也大于或小于0即可。