Question

在三角形中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则向量AB与向量AC的积是多少

Answer 1

由中点的向量表达式，AM=(AB+AC)/2 ，
所以 AM^2=(AB^2+AC^2+2AB*AC)/4=9 ，
可得 AB^2+AC^2+2AB*AC=36 ，（1）
又 |BC|=10 ，
所以 BC^2=(AC-AB)^2=AC^2+AB^2-2AB*AC=100 ，（2）
（1）-（2）得 4AB*AC= -64 ，
所以 AB*AC= -16 。

Answer 2

在△AMB中，向量AM+MB=AB，两边平方，AM^2+2AM·MB+MB^2=AB^2,(1)
在△AMC中，向量AM+MC=AC，两边平方，AM^2+2AM·MC+MC^2=AC^2,(2)
(1)+(2)式，2AM^2+2|AM|*|MB|*cos<AMB+2|AM|*|MC|*cos<AMC+(CB/2)^2+(BC/2)^2=AB^2+AC^2,(以上是向量），
∵<AMB+<AMC=180°，
∴cos<AMB=-cos<AMC,
∴2*3^2+5^2+5^2=AB^2+AC^2,
∴AB^2+AC^2=68,
∵向量（AB+AC）/2=AM，
两边平方，
AB^2+AC^2+2AB·AC=4AM^2,
68+2AB·AC=4*3^2,
2AB·AC=-32,
∴向量AB·AC=-16。