Question

已知sinα+cosβ=√3/2，sinβ+cosα=√2，求tanαcotβ的值

我首先由已知得到sinα+cosβ=√3/2 sinβ+cosα=√2 得到sin（α+β）=3/8 然后tanαcotβ=sinacosb/cosasinb=【sin(α+β)+sin(α-β)】/【sin(α+β)-sin(α-β)]】 但我不知道怎么得到sin(α-β) ！！ 求解

Answer 1

分析，
sinα+cosβ=√3/2，【1】
sinβ+cosα=√2，【2】
【1】²+【2】²，
得，2+2sin(α+β)=3/4+2
∴sin(α+β)=3/8
【1】²-【2】²，
得，sin²α-cos²α+cos²β-sin²β+2sin(α-β)=3/4-2
cos(2β)-cos(2α)+2sin(α-β)=-5/4
2sin(β+α)×sin(α-β)+2sin(α-β)=-5/4
∴sin(α-β)=-5/11
tanαcotβ
=sinacosb/[cosasinb]
=[sin(α+β)+sin(α-β)]／[sin(α+β)-sin(α-β)]
=(3/8-5/11)／[3/8+5/11]
=-7/73