Question

高中数学关于导数的一些问题

y=cosx y’=-sinx吧
但是为什么y=cos3x这个就不是等于-sin3x呢？
y=a^x 这个导后是等于a^xlna 但是y=a^5x这种情况就不同了，这是为什么啊？求解释啊，什么时候才用“再导一次”。

Answer 1

这是复合导数的问题，你的复合导数没有学好吧。
你需要分清楚的，是哪些函数只需要导一次，哪些函数需要进行复合导数。

其实很简单，除了基本的函数形式只导一次外，其余的都需要进行复合导数。

什么是基本函数形式？（这个必须记住）
包括：
y=x^a, (a∈R)
y=a^x
y=sinx, y=cosx……
y=lnx, y=logx……
等等，就是一切课本有其导数公式的形式。

复合函数，就是这些基本函数的组合、合体。
比如： y=sinx，其导数y'=cosx （这是y在x上的导数）
其实，本质理解应该理解成 y'=x'cosx，由于x'=1，所以y'=cosx 罢了。

我插入一个变量m，使得 x=3m，则原式为：y=sin3m，
这是，y在m上的导数则是 y‘=x'cosx =(3m)'cos3m =3cos3m。

所以，你问 y=a^x 的导数是 a^xlna，为什么 y=a^5x 的导数就不同？因为对象不一样。
y=a^x 的对象是x，其导数是 a^xlna，
而 y=a^5x，如果你求 y在5x上的导数，则导数为： a^5xlna
如果你求 y在 x上的导数，则导数为： 5a^5xlna

追问

回答得好专业，看到你“其实，本质理解应该理解成 y'=x'cosx，由于x'=1，所以y'=cosx 罢了”这句话后，我立刻明白复合函数怎么求导了

Answer 2

y=cos3x的导数是-3sin3x
解释：对这个函数求导时，应理解为把3x作为整体（比如z=3x）对cosz的函数求导为-sinz
然后对z=3x求导为3.把他们乘起来。既为-3sinx。y=cos3x可以看作是y=cosz与z=3x的复合函数。复合函数都可以用这种方法解答。
y=a^5x的导数为5a^5xlna

Answer 3

就和复合函数差不多的算法,设函数T=3x 则Y=cosT依次求导既Y'x=Y'T*T'x=.....另一个同理.看到复杂就往简单 想,化成简单形式,