Question

如图，○O的两弦AB，CD相交于点E，且AB=CD。求证：AC∥BD

Answer 1

∵AB、CD是⊙O的两弦，且AB、CD相交于E，∴由相交弦定理，有：AE×BE＝CE×DE，
∴AE×（AB－AE）＝CE×（CD－CE），∴AB×AE－AE^2＝CD×CE－CE^2。
∵AB＝CD，∴AB×AE－AE^2＝AB×CE－CE^2，∴AB×（AE－CE）－（AE^2－CE^2）＝0，
∴AB×（AE－CE）－（AE＋CE）（AE－CE）＝0，∴（AE－CE）（AB－AE－CE）＝0，
∴（AE－CE）（BE－CE）＝0。

很明显，BE、CE不一定相等，如：当BD是直径时，有BC⊥CE，此时BE＞CE。
∴只有：AE＝CE，∴∠BAC＝∠DCA，而A、C、B、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠BDC，∴AC∥BD。

Answer 2

由于AC是公共弦，所以对应的同旁的圆周角CBA与角ADC相等
同样，弦AB，CD相等，所以圆周角CBD与角ADB相等
所以角ABD=角CBD-角CBA=角ADB-角ADC=角CDB
所以AD=CB，所以AC平行于BD

Answer 3

没有图，，怎么做？