Question

已知函数f(x)=x2e-ax方（a>o),求函数在【1,2】上的最小值

Answer 1

f(x)=x²e^(-ax)
f'(x)=2xe^(-ax)-ax²e^(-ax)
=(2x-ax²)e^(-ax)
=-ax(x-2/a)*e^(-ax)
f'(x)=0,得x=2/a,x=0
1 当2/a≤1，即a≥2时
x∈[1,2],f'(x)≤0,f(x)递减
f(x)min=f(2)=4e^(-2a)
2. 当1<2/a<2即1<a<2时
1≤x<2/a,f'(x)>0,f(x)递增
2/a<x≤2,f'(x)<0,f(x)递减
f(x)最小值为f(1),f(2)中较小者
f(1)=e^(-a), f(2)=4e^(-2a)
f(2)-f(1)=e^(-a)[4^e^(-a)-1]
= e^(-a)(4-e^a)/e^a
4-e^a>0 ==>a<ln4
（1）1<a<ln4时，f(1)<f(2)
f(x)min=f(1)=e^(-a)
（2）当ln4≤a<2时，f(1)≥f(2)
f(x)min=f(2)=4e^(-2a)
3.
当2/a≥2时，即0<a≤1时
x∈[1,2],f'(x)>0,f(x)递增
f(x)min=f(1)=e^(-a)
综上所述
当0<a<ln4时，f(x)min=f(1)=e^(-a)
当a≥ln4时，f(x)min=f(2)=4e^(-2a)

∴f(x)min