Question

一道高中数学问题

设动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0,1）的距离之比为√3，点M的轨迹为曲线E。
(I)求曲线E的方程
(I)过点F做直线l与曲线E交于A,B两点，且向量AF=λ向量FB，当2≤λ≤3时，求直线l斜率k的取值范围。
答案已给出，其中有几步不明白，问题标注在图中，

希望大家能指导我一下，万分感谢！

Answer 1

你有什么不理解的可以追问呀？我还是要回答：这里体现了转化与化归的思想以及函数思想；消元思想
由于已知的是λ的取值范围，要求的是斜率κ的范围；
所以要找κ与λ的函数关系；就要把联系的变量x₁,x₂消去；
所以把❸带入❶，❷中得：（1-λ)x₂= -4k/(2k²+3);即：(1-λ)²x₂²=16k²/(2k²+3)²;
λx₂²=-4/(2k²+3);
以上两式相除消去x₂得：（1-λ)²/λ=-4k²/(2k²+3)
这里的消元是必须的步骤；
而后面的变形其实就是求函数的值域；可以有各种方法啦？
求出函数f(λ)=(1-λ)²/λ=(1+λ²-2λ)/λ=1/λ+λ-2利用此函数在[2,3]上是增函数可得：
f(2)≤f(λ)≤f(3);即： ½≤f(λ)≤4/3
所以有：½≤ -4 K²/(2K²+3)≤4/3
解这个不等式就可以得到直线的斜率的取值范围 你给的解答是人家的一种语言组织和表达方式，但不是本题的唯一表达；思路我在上面已经讲清楚啦！那里还有不好理解的可以追问

Answer 2

这一步为了易求范围，把分子化为常数1，所以分子分母同除以(√λ)^2，化成了根式。
也可以这样化λ/(λ^2-2λ+1)=1/(λ+1/λ-2).

Answer 3

你可以不化成它要求那样也可以；但不能简单了3/4≤式子≤2;需说明在区间内是增减函数；设定λ1＜λ2证得函数f(λ1)＞f(λ2)即可

Answer 4

方便后面计算啊，分子分母都是未知数时，要把其中一个变成常数才去求取值范围