Question

请教大神，如何求积分区域边界为参数方程的二重积分

比如∫∫dσ，区域由x=a(t-sin(t))，y=a(1-cos(t))，0≤t≤π与y=0围成。此题是否可化为X型累次积分，y的范围为0-x' (即∫ydx)? 考虑到此题特殊性（y=x'），若是方程中y≠x'情况下该如何解答呢?

主要积分域的确定（用xoy坐标系表示）比较不懂。

Answer 1

此题可以先积y，y的范围是0→y(x)，积完后：
∫[0→2πa] y(x) dx
但是现在这个积分没法做了，因为y(x)这个函数的具体表达式不清楚，所以这里要换元，将变量换成 t 才能继续做。

这个题不要考虑x'=y，这样做题时会出麻烦，因为这个求导是对 t 求的，就算要考虑它，也是换完元后再考虑。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

嗯，那这样，这个积分域怎样确定的呢？

追答

∫[0→2πa]dx∫[0→y] dy
=∫[0→2πa] y dx
换元
=a²∫[0→2π] (1-cost) d(t-sint)
=a²∫[0→2π] (1-cost)² dt
下面你应该会了吧。

追问

其实这些我还是会的，主要是确定dx的积分域这部分有点搞不清楚。咦？好像是求x=a(t-sin(t))在t定义域内的最大最小值么？

追答

对，就是求这个最大最小值。这个函数是单调的，所以你取t=0和t=π这两个点就行了，我上面好象写错了，写成2π了。