Question

如图，已知BP,CP分别是△ABC的外角∠CBD,∠BCE的平分线。求证：（1）点P在∠BAC的平分线上。

2）求证∠BAC=90°-二分之一∠BAC。
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Answer 1

1）∵BP平分∠CBD，
∴点P到BC、BD的距离相等（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
同理，∵CP平分∠BCE，
∴点P到CB、CE的距离相等，
∴点P到BD和CE（即AB、AC）的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

2）∵∠ABC=180°-∠CBD，∠ACB=180°-∠BCD,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=∠DBC+∠BCE-180°
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A
∵∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC
=180°-1/2(∠DBC+∠BCE)
=180°-1/2(180°+∠A)
=90°-1/2∠A

Answer 2

1、分别过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F．
∵BP、CP是△ABC的外角∠CBD,∠BCE的平分线，
∴PD=PE，PE=PF，
∴PD=PF．
∴点P必在∠BAC的平分线上．
2、∵∠CBD=2∠CBP
∠BCE=2∠BCP
∠ABC=180°-2∠CBP
∠ACB=180°-2∠BCP
∠BPC=180°-∠CPB-∠BCP
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB
=180°-180°+2∠CBP-180°+2∠BCP
=2(∠CBP+∠BCP)-180°
=2(180°-∠BPC)-180°
=180°-2∠BPC
∴∠BPC=90°-∠BAC/2

Answer 3

（1）证明：过P作PG垂直AD于G，作PH垂直AE于H，作PM垂直BC于M。
因为BP平分角CBD，所以PG=PM，同理PH=PM，所以PG=PH，所以
点P在角BAC的平分线上。
（2）证明：设∠PBC=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠ACB=∠4，
则2∠1=∠A+∠4，2∠2=∠A+∠3，相加得2(180°-∠P)=∠A+180°-∠A，
所以∠BPC=90°-二分之一∠BAC。