Question

求z=x^3+2x^2-2xy+y^2在（-2，2）×（-2，2）上的极值点

求z=x^3+2x^2-2xy+y^2在（-2，2）×（-2，2）上的极值点
为甚麽要x＝y？谢谢

Answer 1

求z=x³+2x²-2xy+y²的极值点
解：令∂z/∂x=3x²+4x-2y=0.........(1)
∂z/∂y=-2x+2y=0...............(2)
由(2)得x=y， 代入(1)式得3x²+4x-2x=3x²+2x=x(3x+2)=0，故得x₁=0，x₂=-2/3；y₁=0，y₂=-2/3
故解得驻点(x₁，y₁)=(0，0)；(x₂，y₂)=(-2/3，-2/3).
(1).第一个驻点(x₁，y₁)=(0，0)：
A=∂²z/∂x²=(6x+4)︱(x=0，y=0)=4>0
B=∂²z/∂x∂y=-2
C=∂²z/∂y²=2
B²-AC=4-8=-4<0，故(x₁，y₁)=(0，0)是极小点；极小值=0;
(2).第二个驻点(x₂，y₂)=(-2/3，-2/3)：
A=(6x+4)︱(x=y=-2/3)= -4+4=0，B=-2，C=2.
B²-AC= 4-0=4>0，故(x₂，y₂)=(-2/3，-2/3)不是极值点。
此函数只有一个极小点(0，0)，极小值=0。

Answer 2

z=x^3+2x^2-2xy+y^2

zx=3x²+4x-2y=0
zy=-2x+2y=0

所以
x=y
3x²+4x-2x=0
3x²+2x=0
x=0或x=-2/3
此时驻点为（0,0）（-2/3,-2/3）
zxx=6x+4=A
zxy=-2=B
zyy=2=C
1.(0,0)
AC-B²>0
是极小点
2.(-2/3,-2/3)
AC-B²<0
不是
所以
极值点为（0,0）