Question

已知函数y=f(x+1)为奇函数，若y=f(x)与y=g(x)图像关于y=x对称，若x1+x2=0，则g(x1）+g（x2)=?

Answer 1

因为y=f(x)与y=g(x)的图像关于y=x对称

那么g(x)是f(x)的反函数，即g(x)=f-1(x)
而y=f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0
令x1=f(x+1)，x2=f(-x+1)，那么就有x1+x2=0
同时g(x1)=x+1，g(x2)=-x+1
所以g(x1)+g(x2)=x+1-x+1=2
即g(x1)+g(x2)=2

Answer 2

y=f(x+1)为奇函数，则f(-x+1)=-f(x+1)，即y=f(x)的图像关于点(1,0)对称。
而y=f(x)与y=g(x)图像关于y=x对称，从而y=g(x)是y=f(x)的反函数，
所以y=g(x)的图像关于点(0,1)对称。即g(x)+g(-x)=2
从而 若x1+x2=0，则g(x1）+g（x2)=2