Question

求高数大神指导 求函数的极限 当x趋近于1时，（x^m-1)/(x^n-1)的极限值，请写清具体求解步骤

m，n均为正整数

Answer 1

利用等比数列的前n项和可以得到：
1+x+x^2+x^3+.......+x^(n-1)=(1-x^n)/(1-x)
(1-x)[1+x+x^2+x^3+.......+x^(n-1)]=(1-x^n)
或
(x-1)[1+x+x^2+x^3+.......+x^(n-1)]=(x^n-1)
以及
(x-1)[1+x+x^2+x^3+.......+x^(m-1)]=(x^m-1)
(x^m-1)/(x^n-1)=[1+x+x^2+x^3+.......+x^(m-1)]/[1+x+x^2+x^3+.......+x^(n-1)]
所以当x趋近于1时，（x^m-1)/(x^n-1)的极限值
lim(x^m-1)/(x^n-1)
=lim[1+x+x^2+x^3+.......+x^(m-1)]/[1+x+x^2+x^3+.......+x^(n-1)]
=m/n.
lim的下面有x→1

Answer 2

洛必达法则：
lim (x^m - 1)/(x^n - 1)=lim [mx^(m-1)] / [nx^(n-1)]=m/n

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 3

lim(x^m-1)/(x^n-1)
=lim[(x-1)(x^(m-1)+x^(m-2)+...+1)]/[(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+1)]
=lim(x^(m-1)+x^(m-2)+...+1)/(x^(n-1)+x^(n-2)+...+1)
=m/n

Answer 4

(x^m-1)/(x^n-1)
=(x-1)(x^(m-1)+x^(m-2)+……+1)/(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+……+1)
=(x^(m-1)+x^(m-2)+……+1)/(x^(n-1)+x^(n-2)+……+1)
=m/n

Answer 5

L'Hospital法则
lim(x→1) (x^m-1)/(x^n-1)
=lim(x→1) (x^m-1)'/(x^n-1)'
=lim(x→1) [mx^(m-1)]/[nx^(n-1)]
=(m/n)lim(x→1)x^(m-n)
=m/n