Question

离散数学 如何证明(A∩B)×(C∩D)=（A×C）∩﹙B×D﹚？

Answer 1

设(x,y)属于(A∩B)×(C∩D)，则：x属于(A∩B)，y属于(C∩D)，x属于A和B，y属于C和D，于是：
(x,y)属于A×C，也属于B×D，故(A∩B)×(C∩D)是（A×C）∩﹙B×D）的子集。

反之：设(x,y)属于（A×C）∩﹙B×D），则：(x,y)属于（A×C）和﹙B×D), ：x属于A,y属于C；x属于B,y属于D；那么x属于(A∩B)，y属于(C∩D)，(x,y)属于(A∩B)×(C∩D)，故：（A×C）∩﹙B×D）是（A∩B)×(C∩D)的子集

所以：(A∩B)×(C∩D)=（A×C）∩﹙B×D﹚

Answer 2

从定义出发两面证即可
若(x,y)属于(A∩B)×(C∩D)
则有x属于A∩B且y属于C∩D
那么有x∈A，y∈C，也有x∈B，y∈D
所以(x,y)∈A×C，(x,y)∈B×D
即(x,y)∈（A×C）∩﹙B×D﹚

反过来，若(x,y)∈（A×C）∩﹙B×D﹚
则有(x,y)∈A×C且(x,y)∈B×D
那么有x∈A,y∈C且x∈B,y∈D
那么x∈A∩B，y∈C∩D
所以(x,y)∈(A∩B)×(C∩D)

综上所述，(A∩B)×(C∩D)=（A×C）∩﹙B×D﹚

追问

第四行的 ：y∈C ; y∈D
那（x,y）∈A×D ; （x,y）∈﹙B×C)
(x,y)∈（A×D）∩﹙B×C﹚

这种情况存在吗?

追答

C、D的位置本来就是对称的，交换也可以

Answer 3

证明两边互相包含