Question

计算∫∫xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy其中∑为半球面z=√（4-x^2-y^2）的上侧

Answer 1

被平面Σ1：z=0，x²+y²≤4，下侧
则Σ与Σ1构成封闭曲面，用高斯公式
∫∫(Σ+Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=∫∫∫ (y+0+0)dxdydz
被积函数只剩下y，由于区域关于xoz面对称，y是奇函数，所以结果为0
综上，上面积分为0.

下面将补的Σ1减出去即可：
∫∫(Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy

=-∫∫ y² dxdy
用极坐标
=-∫∫ r³sin²θ drdθ
=-∫[0→2π]sin²θdθ∫[0→2] r³ dr
=-(1/2)∫[0→2π] (1-cos2θ) dθ∫[0→2] r³ dr
=-π(1/4)r^4 |[0→2]
=-4π

因此原积分=0-(-4π)=4π

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