Question

函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-5在区间[-1,2]上不单调,求a的范围

Answer 1

函数f(x)=1/3*x^3-x^2+ax-5的导数为
f'x=x^2-2x+a
函数在[-1,2]上不单调，则f'x在[-1,2]上至少有一个解
由△=(-2)^2-4a≥0，解得a≤1
其根位于区间[-1,2]内，则由f'x=x^2-2x+a=0，
解得两根为x1=1-√(1-a)，x2=1+√(1-a)
根在区间[-1,2]内，则必然有-1<x1<2或-1<x2<2
即-1<1-√(1-a)<2或-1<1+√(1-a)<2
解得-3<a≤1或0<a≤1
合并得 -3<a≤1

Answer 2

函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-5在区间[-1,2]上不单调
所以它的导数f'x=x^2-2x+a在 [-1,2]至少有1个值使
f'x=x^2-2x+a=0
由△=(-2)^2-4a≥0，解得a≤1
x1=1-√(1-a)，x2=1+√(1-a)
1<x1<2或-1<x2<2
即-1<1-√(1-a)<2或-1<1+√(1-a)<2
解得-3<a≤1或0<a≤1
-3<a≤1