Question

a的n次除以n的阶乘的极限怎么算

Answer 1

当a属于[-1,1]，a^n趋于0或等于1，因此lima^n/n!=0。

当a不属于[-1,1]，直接算不方便，用Stirling近似公式，当n趋于无穷，n!=(n/e)^n*√(2*π*n),其中π是圆周率，e是自然对数的底数。

lim a^n/n!= lim a^n/[(n/e)^n*√(2*π*n)]，可以看到，e和a是常数，lim（ea/n）^n*[1/√(2*π*n)]，当n趋于无穷大，（ea/n）^n和1/√(2*π*n)都趋于0。

综上故lim a^n/n!= 0。

极限简介：

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

Answer 2

不妨设正整数k使得k－1<=a<k。于是
0<a^n/n!＝k k ...k k...k/k!*(k+1)...n 分子是n个k相乘，前k个一组，剩下的一组。
分母类似分组。第一组不动，第二组对应项有k<k+1，k<k+2等等
<=k^k/k! *k/n＝Mk/n。M是常数。
夹逼定理知道极限是0。
当学了洛必达法则，以及后面的Stirling公式后这些都是很简单的结论了。
目前建议记住这个结果。

Answer 3

使用Stirling formula可以知道阶乘比a的n次增长得快，具体可以看下相关知识。