Question

如图在三角形ABC中,D、E、F分别是三边BC、AC、AB的中点。

（1）求证：EF与AD互相平分
（2）请添加一个能改变三角形ABC形状的条件，使AD与EF相等，并证明你的想法。
（3）请添加一个能改变三角形ABC形状的条件，使AD与EF垂直，并证明你的想法。
（4）添加什么能改变三角形ABC形状的条件，使AD与EF相等或垂直？

Answer 1

(1)
设 AD与EF交于G
因为EF是中位线, EF//BC
所以 AG/GD=AE/EC=1
即 G是AD的中点
所以 FG=BD/2, EG=CD/2
所以 FG=EG
即 G是EF的中点
EF与AD互相平分得证
(2)
若 角A=90度, 即ABC是直角三角形, 则AD=EF
证： 因为角A=90度，AD是中线
所以 AD=BC/2
又 EF是中位线，EF=BC/2
所以 AD=EF
(3)
若AB=AC，即ABC是等腰三角形，则AD垂直EF
证：因为AB=AC
所以 AD垂直BC
又EF//BC
所以 AD垂直EF
(4)
若ABC是等腰直角三角形，角A=90度，则AD=EF，且AD垂直EF。

Answer 2

(1)设 AD与EF交于G因为EF是中位线, EF//BC所以 AG/GD=AE/EC=1 即 G是AD的中点所以 FG=BD/2, EG=CD/2所以 FG=EG 即 G是EF的中点EF与AD互相平分得证(2)若 角A=90度, 即ABC是直角三角形, 则AD=EF证： 因为角A=90度，AD是中线所以 AD=BC/2又 EF是中位线，EF=BC/2所以 AD=EF(3)若AB=AC，即ABC是等腰三角形，则AD垂直EF证：因为AB=AC所以 AD垂直BC又EF//BC所以 AD垂直EF(4)若ABC是等腰直角三角形，角A=90度，则AD=EF，且AD垂直EF。

Answer 3

过C点作AC的垂线交AE的延长线于点G,
又∵BD⊥AC、∴BD∥CG
BD是等腰直角三角形ABC斜边AC上的高，
根据等腰三角形的三线合一知:AD=DC
∴DF是△AGC的中位线，即CG=
2DF
∵∠BAE=∠GAC、∠BAE+∠AEB=90°、∠GAC+∠AGC=90°
∴∠AEB=∠AGC
又∵∠AEB=∠GEC
∴∠AGC=∠GEC
∴CG=CE
∴CE=2DF