Question

大学第一节微积分，关于数列极限的证明，我没有搞懂。

比如证明lim(2n+1)/n=2 <=>只要证明1/n<(希腊符号)
取正整数N=（1/希腊符号）+1 就是这个N的取法我不是很理解 为什么要取这个数字
有什么意义 我看后面的例题中有时候没有+1 求解N是怎么取的 我不希望第一个概念就搞不清楚 谢谢

Answer 1

数列极限的 ε-N 定义理解起来确实很困难，只有多做题，在做题中慢慢体会定义的内涵。

取 N=[1/ε]+1 是为了保证第 N 项及以后的所有项与 2 的差的绝对值（其实就是 1/n）都比 ε 小，
所以取 N=[1/ε]+2 ，N=[1/ε]+3 。。。，都可以。
至于多加个 1 而不是直接取 N=[1/ε] ，主要是为了满足 |aN-2|<ε 。
事实上，由于 [1/ε]<=1/ε ，所以实际上 1/[1/ε]>=1/(1/ε)=ε ，

多加了 1 后，N=[1/ε]+1>1/ε ，所以 1/N<1/(1/ε)=ε ，这样 |aN-2|=1/N<ε 就有保证了。

Answer 2

对于任意n>N时差值小于ε，由于ε可以取无穷小的数，所以相当于在n充分大时表达式的值无穷趋近于一个常数，这就是极限的含义。对于不同题目，N有不同的取法，只要保证差值小于ε成立即可。
例：(2n+1)/n=2+1/n
对于任意正数ε，在n>N时只需使|1/N|<ε，由于N为正整数，只需使N>1/ε，即取N=[1/ε]+1

Answer 3

首先告诉你，这个问题实在理解不了的话，可以不必理解（除非你是数学专业），因为这个内容将来的考试包括考研都是不考的，因为确实有难度。

我们要证明的是：当n>N时，有1/n<ε
因此取N=[1/ε]+1，这样当n>N时，有n>[1/ε]+1，两边取倒数不就得到1/n<1/([1/ε]+1)<ε
当然这个N不是非要这样取，N的取法并不唯一，你可以去想一些别的取法（这个取法是比较简单的），只要能使得在n>N这个条件下，有1/n<ε成立，就说明证出来了。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

那比如我这道题目极限不是2 是不是证明不出来 是怎么看的 我们老师上课没有举类似这方面的例子

追答

如果你去证lim(2n+1)/n=3，肯定是证明不出来的，因为可以证明出lim(2n+1)/n≠3。不过你已选了别人的答案，算了。