Question

已知函数f(x)的定义域是[a,b],且a+b>0,求g(x)=f(x)-f(-x)的定义域

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Answer 1

g(x)的定义域须满足：
a=<x<=b
且a=<-x<=b, 即-b=<x<=-a
即定义域为区间[a,b] ∩ [-b,-a]
如果b>a>0, 则上述两个区间没交集，定义域为空集。
如果b>0>=a,因a+b>0, 即b>-a, 所以有：-b<a<-a<b，则上述两个区间的交集即定义域为：[a, -a]

Answer 2

根据区间的定义，显然a<b.
g(x)的定义域须满足：
a≤x≤b 且a≤-x≤b,
即a≤x≤b 且-b≤x≤-a
即如果区间[-b,-a]∩[a,b]不为空集，则是g(x)的定义域。
若a=-a, 有a=0, 由a+b>0，知b>0, g(x)的定义域{0}；
若a>-a,有a>0,区间[-b,-a]∩[a,b]为空集,这时g(x)不存在；
若a<-a, 有a<0, 由a+b>0，知b>-a>0, g(x)的定义域[a,-a]。
所以，当a=0时，g(x)的定义域{0}；
当a<0时，g(x)的定义域[a,-a]。