Question

数列1×2,2×2^2,3×2^3,4×2^4…n×2^n,求前n项的和

Answer 1

Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n
则：2Sn=1*2^2+2*2^3+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
2Sn-Sn=Sn
=n*2^(n+1)-1*2^1+(1-2)*2^2+(2-3)*2^3+...+(n-1-n)*2^n
=n*2^(n+1)-2^1-2^2-2^3-...-2^n（后面这个是等比数列）
=n*2^(n+1)-2(2^n-1)
=(n-1)*2^(n+1)+2

Answer 2

S=1×2+2×2^2+3×2^3+4×2^4+…+n×2^n
两边乘2得2S=1×2^2+2×2^3+3×2^4+4×2^5+…+n×2^(n+1)
上减下式S-2S=1×2+2^2+2^3+2^4+…+2^n-n×2^(n+1)
-S=2*（1-2^n)/(1-2)-n×2^(n+1)
S=2*（1-2^n)+n×2^(n+1)

Answer 3

就是用错位相减法。

Sn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
2Sn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)
=2^(n+1) -n×2^(n+1) -2
=(1-n)×2^(n+1) -2

Sn=(n-1)×2^(n+1) +2

2^(n+1)表示2的n+1次方。

Answer 4

Sn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
2Sn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)
=2^(n+1) -n×2^(n+1) -2
=(1-n)×2^(n+1) -2

Sn=(n-1)×2^(n+1) +2

2^(n+1)表示2的n+1次方。