Question

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1﹙a＞b＞0﹚的两个焦点分别为F1,F2，斜率为k

斜率为k的直线L过右焦点F2且与椭圆的交点为C，又B为线段CF2的中点。
（1）若K=2√5/5，且A,B到右准线的距离之和为9/5，求椭圆的方程。
（2）若/K/≤2√5/5，求椭圆的离心率的取值范围。

Answer 1

根据椭圆焦半径公式,有:
LA=a-e·xA;
LB=a-e·xB;
则由题意有:LA+LB=9/5
即: 2a-e·(xA+xB)=9/5.
由题意,xB=a/2;
代入椭圆方程求得
yB=(√3/2)·b.
则BO=√(xB^2 + yB^2)=√(a^2 + 3b^2) /2
△BOC是直角三角形;
则:BO=(1/2)CF=BF
=LB=a-e·xB;
即 a-e·xB=√(a^2 + 3b^2) /2;
即 a-√(a^2-b^2)/a ·(a/2)=√(a^2 + 3b^2) /2 ①;

由直角三角形的性质,有
yB/xB=(yB-yA)/(xB-xA)=-2/√5
→[(√3/2)·b]/(a/2)=-2/√5 ②
由 ①②解得
a=√5; b=1.
于是得到椭圆方程 x^2/5+y^2=1