Question

椭圆E的方程是x²/2+y²/4=1。射线y=√2x（x≥0﹚与椭圆E的交点为A

椭圆E的方程是x²/2+y²/4=1。射线y=√2x（x≥0﹚与椭圆E的交点为A，过A 做两直线分别与x轴交于B,C两点，与椭圆分别交于M，N两点，若△ABC是以A为顶点的等腰三角形。 （1）求证：直线MN的斜率为定值。
（2）求S△AMN的最大值。

Answer 1

解:<1> 易知 A(1,√2)。若△ABC是以A为顶点的等腰三角形，等价于∠ABC=若△ABC是以A为顶点的等腰三角形ACB: 也就是说 kAB = -kAC...1#
设M(x1,y1); N(x2,y2), 设直线AB： y = k(x-1)+√2 ;直线 CA y = -k(x-1) +√2

AC 代入椭圆 2x^2+[ kx+(√2-k)]^2 -4 = 0，整理 :
(2+k^2)x^2+2k(√2-k)x+(√2-k)]^2-4=0 ；X1与 是方程2根
所以由韦达定理 x1 = 2k(-√2+k)/ (2+k^2)-1

AB 代入椭圆 2x^2+[ -kx+(√2+k)]^2 -4 = 0，整理 :
(2+k^2)x^2-2k(√2+k)x+(√2+k)]^2-4=0 ；X1与 是方程2根
所以由韦达定理 x1 = 2k(√2+k)/ (2+k^2)-1

x1-x2 = -4√2k/(k^2+2); y1-y2 = k(x1+x2-2) = k[ 4k^2/(k^2+2)-4 ] = -8k/(k^2+1)
Kmn = √2

<2> 设直线 MN: y = √2x+n 带入椭圆方程,得到
4x^2 +2√2nx +(n^2-4) = 0， A到MN距离为d
由 △ >0 ，知道 -2√2<n<2√2,且n不等于0

S△AMN = d*MN/2 = |n|/√3 * √3*√(-n^2+8) /2= √ n^2*(-n^2+8)/2
≤ √ [(n^2+(-n^2+8))/2]^2/2=4/2 = 2
当且仅当 n^2=4 时成立， n=±2,时,取最大值 2
计算过程请自己再看看，做的比较快可能有点出入~

Answer 2

解:<1> 易知 A(1,√2)。若△ABC是以A为顶点的等腰三角形，等价于∠ABC=若△ABC是以A为顶点的等腰三角形ACB: 也就是说 kAB = -kAC...1#
设M